Критерій Келлі (Kelly Criterion)

Критерій Келлі відповідає на питання, яке більшість гравців ніколи не формулюють: не «чи варто мені робити цю ставку?», а «яку частину свого банкролу я маю поставити?». Він був розроблений вченим із Bell Labs Джоном Келлі у 1956 році для зовсім іншої проблеми — шуму в телефонних лініях, — але математика прямо застосовується до будь-якої ставки з відомою перевагою та відомими коефіцієнтами. Замість того, щоб ставити фіксовані суми або вибирати числа «на око», Келлі вираховує розмір ставки, який дозволяє вашому банкролу зростати найшвидше протягом багатьох ставок, уникаючи при цьому банкрутства, яке виникає через надто великі ставки під час серії програшів.

Формула потребує двох вхідних даних, які ви повинні надати самостійно: пропоновані десяткові коефіцієнти та ваша власна чесна оцінка справжньої ймовірності виграшу ставки. На основі цього вона обчислює вашу перевагу та перетворює її на відсоток від банкролу для ставки. Якщо ставити менше за Келлі, ви втрачаєте потенційне зростання; якщо ставити більше, математика показує, що довгостроковий темп зростання вашого банкролу насправді падає, оскільки додаткова дисперсія «з’їдає» складні відсотки — це тонкість, яка дивує людей, що вважають, ніби «більша перевага, більша ставка» масштабується прямолінійно.

Сама формула, у термінах десяткових коефіцієнтів, виглядає так:

f* = (bp − q) / b

де f* — частка банкролу для ставки, b — десятковий коефіцієнт мінус 1 (чистий коефіцієнт), p — ваша оцінена ймовірність виграшу, а q — 1 − p (оцінена ймовірність програшу). Якщо bp − q виходить від’ємним, Келлі прямо каже вам: тут немає переваги, не ставте.

Приклад

Припустимо, ви уважно стежите за «Вільярреалом» і вважаєте, що ринок помиляється щодо їхнього матчу з «Реал Бетіс». Букмекери дають на перемогу «Вільярреала» 2.40 (дробовий 7/5), що передбачає 41.7% шансів (1 ÷ 2.40). Згідно з вашою власною моделлю — остання форма, перевага домашнього поля, кілька травм у «Бетіса», які ринок, здається, повільно враховує — ви приходите до висновку, що справжня ймовірність виграшу становить 48%.

• b = 2.40 − 1 = 1.40
• p = 0.48, q = 0.52
• f* = (1.40 × 0.48 − 0.52) / 1.40 = (0.672 − 0.52) / 1.40 = 0.152 / 1.40 = 0.1086, або 10.9% від банкролу

З банкролом €4,000 повний Келлі каже поставити €434 на «Вільярреал» за 2.40. Це число виглядає агресивним для більшості гравців, і це правильно — повний Келлі припускає, що ваші 48% абсолютно точні, без помилок в оцінці, чого в реальному гандикапі ніколи не буває. На практиці більшість дисциплінованих гравців ставлять «пів Келлі» або «чверть Келлі» — буквально ділячи рекомендовану частку навпіл або на чотири, — щоб застрахуватися від того факту, що їхня оцінка ймовірності є припущенням, а не впевненістю. Пів Келлі тут означає €217, приблизно 5.4% від банкролу, що жертвує частиною теоретичного зростання заради набагато плавнішої кривої капіталу та значно менших збитків, якщо ваші 48% насправді були ближчими до 43%.

Ключові моменти

• Перевага має бути реальною, перш ніж формула почне працювати: Келлі правильно визначає розмір ставки лише тоді, коли ваша оцінка ймовірності справді краща за ринкову. Введення «бажаного» числа замість дослідженого призведе лише до впевнено неправильної ставки — сміття на вході, сміття на виході.
• Дробовий Келлі — це практичний стандарт: Оскільки оцінка ймовірності виграшу ні в кого не є ідеально відкаліброваною, ставка в половину або чверть від повної суми за Келлі є стандартною практикою серед серйозних гравців. Це жертвує частиною теоретичного темпу зростання заради значно нижчого ризику великої просадки, коли ваша оцінка переваги виявляється оптимістичною.
• Келлі пояснює, чому пошук найкращих коефіцієнтів такий важливий: У прикладі з «Вільярреалом», якби ви знайшли 2.55 замість 2.40 в іншого букмекера при тому ж погляді в 48%, b зростає до 1.55, а рекомендована ставка стрибає приблизно до 15% від банкролу — значно більша перевага через невелику різницю в ціні, що і є головним аргументом для порівняння цін перед ставкою.
• Перераховуйте ставку для кожної події, ніколи не використовуйте одне й те саме число: Ставки за Келлі змінюються залежно від коефіцієнтів та вашої оцінки ймовірності, тому звичка «моя ставка за Келлі завжди €400» нівелює сенс методу. Фаворит з низьким коефіцієнтом і аутсайдер з високим коефіцієнтом при однаковій перевазі в очікуваній вартості можуть вимагати зовсім різних часток банкролу.
• Він нічого не каже про те, чи варто робити ставку, лише про те, скільки: Келлі — це інструмент для визначення розміру ставки, а не для вибору подій. Він із задоволенням порадить вам поставити 15% банкролу на основі поганої оцінки — формула повністю довіряє вашим вхідним даним, тому дисципліна має полягати в тому, наскільки ретельно ви побудували p на самому початку.
• Серія програшів за Келлі — це очікувано, а не ознака того, що метод зламався: Оскільки розміри ставок автоматично зменшуються разом із вашим банкролом, Келлі математично створений для того, щоб пережити невдалу серію, але все одно може бути некомфортно спостерігати, як ставки падають після низки програшів. Це система працює так, як задумано, а не привід відмовлятися від неї посеред серії.